Théorème de Bézout

Théorème

Arithmétique

Théorème de Bézout :
Soient $a,b$ deux entiers
$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe $u,v\in\Bbb Z$ tq $$au+bv=1$$
Théorème de Bézout :

$a,b$ sont deux entiers premiers entre eux

$$\Huge\iff$$

il existe $u,v\in{\Bbb Z}$ tels que $$au+bv=1$$

(Nombres premiers entre eux)

Dans un anneau

Théorème de Bézout :
Soit $(a_1,\dots,a_n)\in\mathcal A^n$. $$\begin{align}&{{\bigwedge^n_{i=1}a_i=1 }}\\ \iff&{{\mathcal A=\sum^n_{i=1}a_i\mathcal A}}\\ \iff&{{\exists (x_1,\dots,x_n)\in\mathcal A^n,\quad\sum^n_{i=1}a_ix_i=1 }}\end{align}$$

Corollaires

Remarque :
Si $a,b\in{\Bbb Z},\exists a',b'\in{\Bbb Z}$ tq...

$a=a'\operatorname{pgcd}(a,b)$
$b=b'\operatorname{pgcd}(a,b)$
$\operatorname{pgcd}(a',b')=1$

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Corollaires